Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=npa_n-np+n（n∈N^*，p為常數(shù)），a₁≠a₂．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）在數(shù)列遞推式中取n=1，求得p=1或a₁=1，取n=2得到a₁+a₂=2pa₂-2p+2，驗證p=1與原題意矛盾，得到a₁=1，從而求得p=

1

2

；
（Ⅱ）把p=

1

2

代入原遞推式，再取n=n-1得另一遞推式，作差后證得答案．

解答： （Ⅰ）解：由S_n=npa_n-np+n，
當(dāng)n=1時，a₁=pa₁-p+1，
即（1-p）（1-a₁）=0，
解得p=1或a₁=1．
當(dāng)n=2時，a₁+a₂=2pa₂-2p+2，
若p=1，則a₁+a₂=2a₂-2+2=2a₂，得a₁=a₂，與已知矛盾，故p≠1，
∴a₁=1，又a₁≠a₂，
∴a₂≠1．
由a₁+a₂=2pa₂-2p+2，得p=

1

2

；
（Ⅱ）證明：把p=

1

2

代入S_n=npa_n-np+n，
得2S_n=n（a_n+1）．
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=（n-1）（a_n-1+1）．
兩式相減得（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0，
于是（n-1）a_n+1-na_n+1=0，
兩式相減得a_n+1-a_n-1=2a_n（n≥2）．
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法，是中檔題．