Question

【題目】已知橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.證明直線過(guò)軸上的定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由離心率列方程可求得橢圓方程；

（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線BD過(guò)點(diǎn)（2，0）．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB為y=k（x-1），聯(lián)立方程組，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．利用韋達(dá)定理、直線方程，結(jié)合已知條件求出直線BD過(guò)x軸上的定點(diǎn)．

（1）解：由題意可得,解得，

所以橢圓C的方程為 ．

（2）直線BD恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)N（2，0）．證明如下

（a）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，

不妨設(shè)A（1，），B（1，），D（3，）．

此時(shí)，直線BD的方程為：y=（x-2），所以直線BD過(guò)點(diǎn)（2，0）．

（b）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB為y=k（x-1），D（3，y1）．

由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．

所以x1+x2=，x1x2=．……（*）

直線BD：y-y1=（x-3），只需證明直線BD過(guò)點(diǎn)（2，0）即可.

令y=0，得x-3=，所以x===

即證，即證.

將（*）代入可得.

所以直線BD過(guò)點(diǎn)（2，0）

綜上所述，直線BD恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)（2，0）．