Question

【題目】已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，.

（1）求的解析式，并判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若，且對(duì)任意的恒成立，求k的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】（1），1個(gè)；（2）4

【解析】

（1）由，待定系數(shù)即可求得解析式，再令，求解零點(diǎn)；

（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性及最值.

（1）因?yàn)?/span>，

所以.

因?yàn)?/span>，，

所以，.

解得，

故

，令，解得

故當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增；

又，，故函數(shù)在存在一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，故，

故函數(shù)在區(qū)間上不存在零點(diǎn)；

綜上所述：函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn).

（2）因?yàn)?/span>，所以

等價(jià)于.

設(shè)，

則.

令，

則，故在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，，

所以存在，使得，

即，

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故.

因?yàn)?/span>對(duì)任意的恒成立，

所以.

因?yàn)?/span>，且，

所以k的最大值是4.