Question

【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線方程為，直線過點(diǎn)且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2），或

【解析】

（1）根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)的位置以及漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可；

（2）先考慮直線的斜率不存在時(shí)，是否符合題意，而后考慮直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的斜率，與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)方程的類型進(jìn)行討論，最后求出直線的方程.

（1）雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)其方程為

又.

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意.

所以直線的斜率一定存在，

設(shè)直線的方程為.

由得.

當(dāng)時(shí)，即

若，方程無解；

若，由方程得.

此時(shí)直線方程為

即.

當(dāng)時(shí)，由，

得.此時(shí)直線方程為.

綜上，所求直線的方程為，或.