Question

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C?PB?A的余弦值．

 

Answer 1

(1)見解析 (2)

【解析】(1)由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，

由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.又BC?平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAC.

(2)過C作CM∥AP，則CM⊥平面ABC.如圖，

以點C為坐標(biāo)原點，分別以直線CB，CA，CM為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

在Rt△ABC中，因為AB＝2，AC＝1，所以BC＝.

因為PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．

故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．

設(shè)平面BCP的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

則所以

不妨令y1＝1，則n1＝(0,1，－1)．

因為＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，

設(shè)平面ABP的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則

所以

不妨令x2＝1，則n2＝(1，，0)．

于是cos〈n1，n2〉＝＝.

所以由題意可知二面角C?PB?A的余弦值為