Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上．

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

 

Answer 1

（1）(x－3)2＋(y－1)2＝9.（2）a＝－1.

【解析】(1)曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點為(0,1)，(3±2，0)．故可設圓心坐標為(3，t)，

則有32＋(t－1)2＝2＋t2.

解得t＝1，則圓的半徑為＝3.

所以圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標滿足方程組，

消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，

由已知可得判別式Δ＝56－16a－4a2＞0，

由根與系數(shù)的關系可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝，①

由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.

由①②可得a＝－1，滿足Δ＞0，故a＝－1.