Question

【題目】設函數(shù)f（x）=
（1）令N（x）=（1+x）2﹣1+ln（1+x），判斷并證明N（x）在（﹣1，+∞）上的單調性，并求N（0）；
（2）求f（x）在定義域上的最小值；
（3）是否存在實數(shù)m，n滿足0≤m＜n，使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域也為[m，n]？ （參考公式：[ln（1+x）′]= ）

Answer 1

【答案】
（1）解：當x＞﹣1時，N′（x）=2x+2+ ＞0

所以，N（x）在（﹣1，+∞）上是單調遞增，N（0）=0

（2）解：f（x）的定義域是（﹣1，+∞）

當﹣1＜x＜0時，N（x）＜0，所以，f′（x）＜0，

當x＞0時，N（x）＞0，所以，f′（x）＞0，

所以，在（﹣1，0）上f（x）單調遞減，在（0，+∞）上，f（x）單調遞增，

所以，fmin=f（0）=0

（3）解：由（2）知f（x）在[0，+∞）上是單調遞增函數(shù)，

若存在m，n滿足條件，則必有f（m）=m，f（n）=n，

也即方程f（x）=x在[0，+∞）上有兩個不等的實根m，n，

但方程f（x）=x，即 =0只有一個實根x=0，

所以，不存在滿足條件的實數(shù)m，n

【解析】（1）先對函數(shù)求導，由導函數(shù)在x＞﹣1時的符號判斷函數(shù)的單調性，代入求N（0）的值，（2）直接求定義域，利用f（x）單調性求解函數(shù)f（x）的最小值、值域，（3）假設存在符合條件的m，n則有 ，推導可判斷m，n是否存在．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識，掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．