Question

【題目】三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1 ， ∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，A1A= ，AB= ，AC=2，A1C1=1， = ． （Ⅰ）證明：BC⊥平面A1AD
（Ⅱ）求二面角A﹣CC1﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）以AB、AC、AA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則A（0，0，0），B（ ，0，0），C（0，2，0），A1（0，0， ）， ，
∵BD：DC=1：2， = ．
∴D（ ， ，0）， =（ ， ，0）， =（﹣ ）， =（0，0， ）．
∵ =0， =0，∴BC⊥AA1 ， BC⊥AD，又A1A∩AD=A，
BC⊥平面A1AD
解：（Ⅱ）∵BA平面ACC1A1 ， 取m= =（ ，0，0）為平面ACC1A1的法向量，
設(shè)平面BCC1B1的法向量為 =（l，m，n），則 =0， =0．
∴ ，l= ，n= ，取m=1，得 =（ ，1， ），
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角A﹣CC1﹣B的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）以AB、AC、AA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BC⊥平面A1AD．（Ⅱ）BA⊥平面ACC1A1 ， 取 = =（ ，0，0）為平面ACC1A1的法向量，
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．