Question

【題目】如圖，己知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且 =λ（0＜λ＜1）
（1）求證：不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC：
（2）若λ= ，求三棱錐A﹣BEF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，

又在△BCD中，∠BCD=90°，所以，BC⊥CD，又AB∩BC=B，

所以，CD⊥平面ABC，

又在△ACD，E、F分別是AC、AD上的動點，且 =λ（0＜λ＜1）

所以，不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC

（2）解：在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，所以，BD= ，

又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BC，AB⊥BD，

又在Rt△ABC中，∠ADB=60°∴AB=BDtan60°=

由（1）知EF⊥平面ABE，∴V三棱錐A﹣BEF=V三棱錐F﹣ABE

=

所以，三棱錐A﹣BCD的體積是：

【解析】（1）要證不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC，只需證CD⊥平面ABC，在△BCD中，根據∠BCD=90°得證．（2）根據V三棱錐A﹣BEF=V三棱錐F﹣ABE ， 得出體積即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想．