Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，動點P與兩定點A（-2，0），B（2，0）連線的斜率之積為-，記點P的軌跡為曲線C

（I）求曲線C的方程；

（II）若過點（-，0）的直線l與曲線C交于M，N兩點，曲線C上是否存在點E使得四邊形OMEN為平行四邊形？若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線C的方程為=1（x≠±2）（II）存在，直線l的方程為.

【解析】

（I）設動點為，直接把斜率之積為用坐標表示出來即可；

（II）假設存在符合條件的點，由題意知直線l的斜率不為零，同時設直線l的方程為，，把直線方程代入曲線方程，由韋達定理得，同時求得，而平行四邊形存在，則有，從而可得點坐標，再代入（I）中所求曲線方程可求得參數值，說明假設正確．

解：（Ⅰ）設P（x,y）,有·=-

得·=-

整理得=1（x≠±2）

∴曲線C的方程為=1（x≠±2）

（II）假設存在符合條件的點E（）由題意知直線l的斜率不為零

設直線l的方程為x=my-

點M坐標為（）、點N坐標為（）

由得：（+2）-2my-2=0,△>0

∴+

則+=-

由四邊形OMEN為平行四邊形，得到

∴E（-）

把點E坐標代入曲線C的方程得：-4=0，解得

∴直線l的方程為