Question

【題目】在四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，平面.

（1）證明：；

（2）若是的中點，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據底面為菱形，以及平面，可證得面，從而證明；

（2）方法一：利用線面垂直，作出二面角的平面角.在直角三角形中，逐步求出邊長，最終求出線面角.

方法二：根據建立的空間直角坐標系，寫出點的坐標后，代入公式計算即可．

（1）因為底面是菱形，所以.

又平面，平面，所以.

，所以面.

又面，所以.

（2）由（1）

在中，，∴，，

方法一：

過做于，連，則，

所以是二面角的平面角.

在中，，，

所以，即.

所以.

，

得，

，，

所以二面角的余弦值為.

方法二：

如圖，以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，

，，，，

，，.

設面的法向量為，

則，即，

即，得方程的一組解為，，，

即.

又面的一個法向量為，

所以，

所以二面角的余弦值為.