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        1. 【題目】已知橢圓的離心率為,直線與以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點,過點的直線交橢圓兩點,直線分別交直線,兩點.

          1)求橢圓的方程;

          2)以線段為直徑的圓是否過定點?若是,寫出所有定點的坐標;若不是,請說明理由.

          【答案】1;(2)是,定點坐標為

          【解析】

          1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.

          2)設(shè)直線的方程為,點的坐標分別為,,聯(lián)立方程得到,計算點的坐標為,點的坐標為,圓的方程可化為,得到答案.

          1)根據(jù)題意:,因為,所以,

          所以橢圓的方程為.

          2)設(shè)直線的方程為,點的坐標分別為,,

          把直線的方程代入橢圓方程化簡得到

          所以,

          所以,,

          因為直線的斜率,所以直線的方程

          所以點的坐標為,同理,點的坐標為,

          故以為直徑的圓的方程為,

          又因為,

          所以圓的方程可化為,令,則有,

          所以定點坐標為.

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          2)若不經(jīng)過點的直線(其中)與圓相切,且直線與橢圓交于,求的周長.

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          (2)求證:不可能為18;

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          2)若,是等邊三角形,求二面角的余弦值.

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