Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系上放置一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，此正方形沿軸滾動(dòng)（向左或向右均可），滾動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)位于原點(diǎn)處，設(shè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，，該函數(shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.

（1）寫(xiě)出的值并求出頂點(diǎn)到的最小運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度的值；

（2）寫(xiě)出函數(shù)，，的表達(dá)式；并研究該函數(shù)除周期外的基本性質(zhì)（無(wú)需證明）.

Answer 1

【答案】（1），；（2）函數(shù)，，

奇偶性：偶函數(shù)；遞增區(qū)間：，；遞減區(qū)間，；零點(diǎn)：，.

【解析】

（1）畫(huà)出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即可得出與的值.

（2）根據(jù)所畫(huà)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即可寫(xiě)出函數(shù)，，的表達(dá)式與函數(shù)的基本性質(zhì).

（1）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

因?yàn)檎�方�?/span>的周長(zhǎng)為4,所以.

當(dāng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度

（2） 當(dāng)，時(shí)，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

當(dāng)，時(shí)，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即

當(dāng)，時(shí)，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

當(dāng)，時(shí)，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

所以函數(shù)，，

由圖可知：

奇偶性：偶函數(shù)；遞增區(qū)間：，；遞減區(qū)間，；零點(diǎn)：，.