【題目】設(shè)函數(shù)
（
為常數(shù)）.
（1）當(dāng)
時，求曲線
在
處的切線方程；
（2）若函數(shù)
在
內(nèi)存在唯一極值點
，求實數(shù)的取值范圍，并判斷是在內(nèi)的極大值點還是極小值點.
【答案】(1) 
(2) 
，且
為函數(shù)
的極小值點.
【解析】
（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
，再求出切線的斜率
，再由直線的點斜式方程求解即可；
（2）函數(shù)在
內(nèi)存在唯一極值點等價于方程
在內(nèi)存在唯一解，再構(gòu)造函數(shù)
，求其值域，則可得
的范圍，再利用導(dǎo)數(shù)確定是極大值點或者極小值點.
（1）當(dāng)
時，
，，
所求切線的斜率
，又
.
所以曲線
在
處的切線方程為：.
（2）
，
又
，則要使得在內(nèi)存在唯一極值點，則
在存在唯一變號零點，即方程在內(nèi)存在唯一解，即
與
在范圍內(nèi)有唯一交點，
設(shè)函數(shù)，則
，
在單調(diào)遞減，又
；當(dāng)
時，
時，與在范圍內(nèi)有唯一交點，不妨設(shè)交點橫坐標(biāo)為
，
當(dāng)
時，
，
，則
，在
為減函數(shù)；當(dāng)
時，
，則
，在
為增函數(shù)，即為函數(shù)的極小值點，
綜上所述：，且為函數(shù)的極小值點.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
，
為兩非零有理數(shù)列（即對任意的
，
均為有理數(shù)），
為一無理數(shù)列（即對任意的，
為無理數(shù)）．
（1）已知
，并且
對任意的
恒成立，試求的通項公式．
（2）若
為有理數(shù)列，試證明：對任意的，
恒成立的充要條件為
．
（3）已知
，
，對任意的，
恒成立，試計算
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系
上放置一個邊長為1的正方形
，此正方形沿
軸滾動（向左或向右均可），滾動開始時，點
位于原點處，設(shè)頂點
的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式
，
，該函數(shù)相鄰兩個零點之間的距離為
.
（1）寫出的值并求出頂點到
的最小運動路徑的長度
的值；
（2）寫出函數(shù)，
，
的表達式；并研究該函數(shù)除周期外的基本性質(zhì)（無需證明）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】張軍自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家干果店，銷售的干果中有松子、開心果、腰果、核桃，價格依次為120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，為增加銷量，張軍對這四種干果進行促銷:一次購買干果的總價達到150元，顧客就少付x(2x∈Z)元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，張軍會得到支付款的80%.
①若顧客一次購買松子和腰果各1千克，需要支付180元，則x=________；
②在促銷活動中，為保證張軍每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為_____.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中無理數(shù)
.
（Ⅰ）若函數(shù)
有兩個極值點，求
的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)
的極值點有三個，最小的記為
，最大的記為
，若
的最大值為
，求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距為
，且
，圓
與
軸交于點
，
，
為橢圓
上的動點，
，
面積最大值為
.
（1）求圓
與橢圓的方程；
（2）圓的切線
交橢圓于點
，
，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種曲線；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于
兩點，若點
的直角坐標(biāo)為
，試求當(dāng)
時，
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】清華大學(xué)自主招生考試題中要求考生從A，B，C三道題中任選一題作答，考試結(jié)束后，統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示共有600名學(xué)生參加測試，選擇A，B，C三題答卷數(shù)如下表：
題 | A | B | C |
答卷數(shù) | 180 | 300 | 120 |
（Ⅰ）負(fù)責(zé)招生的教授為了解參加測試的學(xué)生答卷情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從600份答案中抽出若干份答卷，其中從選擇A題作答的答卷中抽出了3份，則應(yīng)分別從選擇B，C題作答的答卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）測試后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，A題的答卷得優(yōu)的有60份，若以頻率作為概率，在（Ⅰ）問中被抽出的選擇A題作答的答卷中，記其中得優(yōu)的份數(shù)為
，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
，
為常數(shù)）在
內(nèi)有兩個極值點
，
（
）
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）求證：
.
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