Question

（本小題滿分10分）
在三棱錐S—ABC中,底面是邊長為2的正三角形，點S在
底面ABC上的射影O恰是BC的中點,側棱SA和底面成45°角．
(1) 若D為側棱SA上一點，當為何值時，BD⊥AC；
(2) 求二面角S—AC—B的余弦值大小．

Answer 1

（1）． (2) .

本試題主要是考查了立體幾何中線線垂直的證明以及二面角的平面角的求解的綜合運用。
（1）建立合理的空間直角坐標系，然后表示向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為零來證明垂直。
（2）結合平面的法向量的坐標，和法向量的夾角公式，來表示二面角的平面角的大小。
以O點為原點,OC為x軸,OA為y軸,OS為z軸建立空間直角坐標系．因為是邊長為的正三角形，又與底面所成角為，所以∠，所以．
所以O(0,0,0)，C(,0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(－,0,0)．…………………………2分

（1）設AD=a，則D(0,3－a,a)，所以=(－,3－a,a)，
=(,－3,0)．若BD⊥AC，則·=3－3(3－a)=0，
解得a=2，而AS=3，所以SD=，
所以．………………………5分
(2)因為=(0,－3,3)，=(2,0,0)
設平面ACS的法向量為n₁=(x,y,z),
則
令z=1，則x=，y=1，所以n₁=(,1,1)………………………………………………………7分
而平面ABC的法向量為n₂=(0,0,1), ………………………………………………………………8分
所以cos<n₁,n₂>=，又顯然所求二面角的平面角為銳角，
故所求二面角的余弦值的大小為.……………………………………………………………10分