Question

【題目】我邊防局接到情報(bào)，在海礁所在直線的一側(cè)點(diǎn)處有走私團(tuán)伙在進(jìn)行交易活動(dòng)，邊防局迅速派出快艇前去搜捕：如圖，已知快艇出發(fā)位置在的另一側(cè)碼頭處，公里，公里，；

（1）是否存在點(diǎn)，使快艇沿航線或的路程相等；如存在，則建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡方程，且畫出軌跡的大致圖形；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）問(wèn)走私船在怎樣的區(qū)域上時(shí)，路線比路線的路程短，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）存在，（2）走私船在直線 上側(cè)，且在（1）中曲線的左側(cè)的區(qū)域時(shí)，路線最短.

理由：設(shè) 的延長(zhǎng)線與（1）中曲線交于點(diǎn) ，則，.

【解析】

（1）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意有，再利用雙曲線的定義求解.

（2）延長(zhǎng) 與（1）中曲線交于點(diǎn) ，可得 ，再結(jié)合兩邊之差小于第三邊，比較 與的大小.

（1）存在.

建立如圖所示的坐標(biāo)系，

根據(jù)題意得，

所以 的軌跡是雙曲線的右支，

因?yàn)?/span> ，

所以

所以 的軌跡方程為 .

（2）走私船在直線 上側(cè)，且在（1）中曲線的左側(cè)的區(qū)域時(shí)，路線最短.

理由：設(shè) 的延長(zhǎng)線與（1）中曲線交于點(diǎn) ，則 , ．