Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB=1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點(diǎn)的三個(gè)三角形（圖中陰影部分），則這三個(gè)三角形的面積和的最小值為（　�。�

• A、

  1

  9

• B、

  1

  8

• C、

  1

  6

• D、

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型,平行線分線段成比例定理

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)陰影部分的直角邊長(zhǎng)分別為x，y，z，則x+y+z=1，三個(gè)三角形的面積和為

1

2

（x²+y²+z²），利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)陰影部分的直角邊長(zhǎng)分別為x，y，z，則x+y+z=1，
三個(gè)三角形的面積和為

1

2

（x²+y²+z²），
∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz≤3（x²+y²+z²），
∴x²+y²+z²≥

1

3

，
∴

1

2

（x²+y²+z²）≥

1

6

，
∴三個(gè)三角形的面積和的最小值為

1

6

，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查基本不等式的運(yùn)用，確定陰影部分的直角邊長(zhǎng)之和為1是關(guān)鍵．