Question

【題目】設(shè)AB=6，在線段AB上任取兩點(diǎn)C、D（端點(diǎn)A、B除外），將線段AB分成三條線段AC、CD、DB．
（1）若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形（稱為事件A）的概率；
（2）若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形（稱為事件B）的概率；
（3）根據(jù)以下用計(jì)算機(jī)所產(chǎn)生的20組隨機(jī)數(shù)，試用隨機(jī)數(shù)模擬的方法，來近似計(jì)算（2）中事件B的概率， 20組隨機(jī)數(shù)如下：

組別	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	0.52	0.36	0.58	0.73	0.41	0.6	0.05	0.32	0.38	0.73
Y	0.76	0.39	0.37	0.01	0.04	0.28	0.03	0.15	0.14	0.86

組別	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
X	0.67	0.47	0.58	0.21	0.54	0.64	0.36	0.35	0.95	0.14
Y	0.41	0.54	0.51	0.37	0.31	0.23	0.56	0.89	0.17	0.03

（X和Y都是0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)）

Answer 1

【答案】
（1）解：若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，則三條線段的長(zhǎng)度的所有可能為：

1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；

2，1，3；2，2，2；2，3，1；

3，1，2；3，2，1；

4，1，1，

共10種情況，其中只有三條線段為2，2，2時(shí)能構(gòu)成三角形

則構(gòu)成三角形的概率p=

（2）解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型

設(shè)其中兩條線段長(zhǎng)度分別為x，y，

則第三條線段長(zhǎng)度為6﹣x﹣y，

則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?/span>

0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，

即為0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6

所表示的平面區(qū)域?yàn)槿�角形OAB；

若三條線段x，y，6﹣x﹣y，能構(gòu)成三角形，

則還要滿足 ，即為 ，

所表示的平面區(qū)域?yàn)槿�角形DEF，

由幾何概型知所求的概率為：P= =

（3）解：步驟如下：

①產(chǎn)生兩組0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)X、Y（題目給出）

②經(jīng)平移和伸縮變換，a=6X，b=6Y，

③數(shù)出落在0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6的點(diǎn)（a，b）的個(gè)數(shù)N和落在0＜x＜3，0＜y＜3，0＜6﹣x﹣y＜6，6﹣x﹣y+y＞x，x+y＞6﹣x﹣y

的點(diǎn)（a，b）的個(gè)數(shù)N1，由已知中的20組隨機(jī)數(shù)可數(shù)得N=13，N1=3

④由 = ，故P（B）= ．

【解析】（1）本題是一個(gè)古典概型，若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，則三條線段的長(zhǎng)度的所有可能為：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3種情況，其中只有三條線段為2，2，2時(shí)能構(gòu)成三角形，得到概率．（2）本題是一個(gè)幾何概型，設(shè)出變量，寫出全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，和滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域，注意整理三條線段能組成三角形的條件，做出面積，做比值得到概率．（3）根據(jù)隨機(jī)數(shù)模擬的方法和步驟即可近似計(jì)算（2）中事件B的概率．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的幾何概型，需要了解幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等才能得出正確答案．