Question

已知函數(shù)．
（1）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（2）若不等式對任意的都成立，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的最大值．

Answer 1

（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）.

試題分析：（1）對原函數(shù)進行求導(dǎo)，難易判斷正負，再令，并求導(dǎo)，從而判斷出在上單調(diào)遞減，∴，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）對不等式兩邊進行取對數(shù)，分離出參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，在令分子為一個新的函數(shù)求導(dǎo)，并利用（1）得時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴
所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，所以函數(shù)在上最小值為，即，則的最大值為.
試題解析：（1），令，
，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，
∴，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）在原不等式兩邊取對數(shù)為，由知
設(shè)
，
設(shè)，
，
由（1）知時，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴
∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.
∴，
∴函數(shù)在上最小值為，即
∴的最大值為.