Question

已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若存在使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）將代入原函數(shù)求，即得切點(diǎn)坐標(biāo)，先將原函數(shù)求導(dǎo)再將代入導(dǎo)函數(shù)求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知即為切線在點(diǎn)處切線的斜率，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式即可求得切線方程。（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)，及其零點(diǎn)，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，即可得原函數(shù)增減區(qū)間。（Ⅲ）時(shí)可將變形為，若存在使不等式成立，則只需大于在上的最小值即可。即將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題
試題解析：解：（Ⅰ）.                      1分
得，                                2分
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.       3分
（Ⅱ）.
令，即，解得.                     5分
時(shí)，，時(shí)，，
此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.       7分
（Ⅲ）由題意知使成立，即使成立；8分
所以                   9分
令，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，                                   12分
所以.                                     13分