Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點，，分別為橢圓的右頂點，上頂點和右焦點，且．

（1）求橢圓的方程；

（2），是橢圓上的兩個動點，若直線與直線的斜率之和為，證明，直線恒過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

(1)由題意可列出方程組,解出,即可得橢圓方程;

(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立,利用韋達(dá)定理和直線斜率公式,列式化簡,即可得出答案.

(1)由題意得①,

又∵②,

且③,

由①②③可得,,,

∴橢圓的方程為.

(2)設(shè),,

若,則直線與直線的斜率之和等于,與題意不符,

∴可設(shè)直線方程為,

由,消去,可得,

∴,

化簡得,

由韋達(dá)定理可得,,

又由題意可得,即,

∴,

即,

化簡可得,∴或,

當(dāng)時,直線的方程為,恒過定點,

經(jīng)檢驗,不合題意,舍去;

當(dāng)時,直線的方程為,恒過定點.

綜上所述,直線恒過定點.