Question

【題目】已知橢圓C的方程為，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交C于點(diǎn)(在第一象限)，且是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)線交C于點(diǎn).

(i)設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：；

(ii)求直線的斜率的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)見(jiàn)解析；(ii)

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，再利用離心率和的關(guān)系求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）(i)利用為線段中點(diǎn)表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)連線斜率公式表示出和，從而結(jié)論可證；(ii)將直線方程與橢圓方成立聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可用和表示出，利用同理可求得，進(jìn)而利用兩點(diǎn)連線斜率公式寫(xiě)出所求斜率，結(jié)合基本不等式求出最小值.

（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)是

且 ，

橢圓的方程

（Ⅱ）(i)設(shè)，那么

是線段的中點(diǎn) ，

，

(ii)根據(jù)題意得：直線的斜率一定存在且

設(shè)直線為，則直線為

聯(lián)立，整理得：

利用韋達(dá)定理可知：

同理可得

當(dāng)且僅當(dāng)即為時(shí)，等號(hào)成立

直線斜率的最小值為