Question

【題目】已數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且滿足，又.

（1）求的值，猜想的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（2）設(shè)，求的值；

（3）設(shè)，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）由結(jié)合遞推公式求出，以此類推求出猜測，用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（2）由（1），求出，按數(shù)列極限運算法則，即可求解；

（3）求出，且，為遞增數(shù)列，求出最小值，即可求出結(jié)論.

（1），當(dāng)時，

，解得或（舍去），

同理可得，猜想，

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)時，通項成立；

②假設(shè)時成立，即，那么

，

所以時通項成立，根據(jù)①②可得；

（2）由（1）得

，

當(dāng)，

；

（3），

為遞增數(shù)列，

故的最小值為.

假設(shè)滿足條件整數(shù)存在，使得對任意，，

只需，所以滿足條件的最大整數(shù)為7.