Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上且其橫坐標(biāo)為1，以為圓心、為半徑的圓與的準(zhǔn)線相切.

（1）求的值；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，求的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)本題可以根據(jù)“點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離”等于“點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離”得出的長(zhǎng)，再根據(jù)“圓心到準(zhǔn)線的距離”以及“點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離”都是圓的半徑即可列出算式并得出結(jié)果；

(2)首先可以根據(jù)題意畫出圖形，然后設(shè)出直線的方程以及直線的方程，再然后通過(guò)聯(lián)立方程組求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)以及點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和，最后通過(guò)計(jì)算出點(diǎn)的縱坐標(biāo)并與點(diǎn)的縱坐標(biāo)進(jìn)行比較即可計(jì)算出的值并得出結(jié)果。

（1）圓心到準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以，

依題意，有，所以。

（2）如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，線段與直線的交點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，

將點(diǎn)的橫坐標(biāo)為帶入拋物線方程中可得，

因?yàn)?/span>、分別為和的中點(diǎn)，所以，直線的方程為，

聯(lián)立方程組，得，

因?yàn)?/span>是該方程的一個(gè)根，所以它的另一個(gè)根為，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

聯(lián)立方程組，得，

設(shè)，，則，

設(shè)，因?yàn)?/span>是平行四邊形，所以，

即，

所以，即.

所以點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，軸，

因?yàn)?/span>，所以，的方程為。