Question

【題目】某工廠生產(chǎn)并銷售某高科技產(chǎn)品，已知每年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是800萬元，生產(chǎn)成本e（單位；萬元）與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x（單位：萬件）的平方成正比；該產(chǎn)品單價(jià)p（單位：元）與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x滿足（b為常數(shù)），已知當(dāng)該產(chǎn)品的單價(jià)為300元時(shí)，生產(chǎn)成本是1800萬元，當(dāng)單價(jià)為320元時(shí)，生產(chǎn)成本是200萬元，且工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品都可以銷售完．

（1）每年生產(chǎn)該產(chǎn)品多少萬件時(shí)，平均成本最低，最低為多少?

（2）若該工廠希望年利潤不低于8200萬元，則每年大約應(yīng)該生產(chǎn)多少萬件該產(chǎn)品?

Answer 1

【答案】（1）每年生產(chǎn)該產(chǎn)品20萬件時(shí)，平均成本最低，最低為80萬元．（2）不小于50萬件，不大于60萬件

【解析】

（1）先求出成本，單價(jià)兩者分別與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，再寫出總成本函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求得平均成本函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)均值不等式求解即可.（2）寫出利潤和產(chǎn)品數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，化簡后為二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為解二次不等式.

設(shè)．

當(dāng)單價(jià)為300元時(shí)，設(shè)產(chǎn)品件數(shù)為則

①

當(dāng)單價(jià)為320元時(shí)，設(shè)產(chǎn)品件數(shù)為，則

②

聯(lián)立①②解得，

，

（1）設(shè)該工廠生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品的總成本為y萬元，平均成本為s萬元，則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，s取得最小值，最小值為80．

∴每年生產(chǎn)該產(chǎn)品20萬件時(shí)，平均成本最低，最低為80萬元．

（2）設(shè)該工廠生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品時(shí)的利潤為t萬元，則

令

解得

∴若該工廠年利潤不低于8200萬元，則每年生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)應(yīng)不小于50萬件，不大于60萬件．