Question

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析：（2）.

本試題主要考查了立體幾何中線線垂直和二面角的求解運(yùn)用。
解：(Ⅰ)當(dāng)嗄時(shí)，底面ABCD為正方形，BDAC
又因?yàn)锽DPABD,面PAC…………………………2分
又PC面PAC
BDPC…………………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線
為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，
則
B(1,0,0)D(0，a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………………4分
設(shè)BQ=m，則Q(1,m,0) 
要使PQQD，只要-1+m(a-m)=0
所以1=m(a-m)，……6分
由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得PQQD
當(dāng)且僅當(dāng)m= a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQQD
由此可知a=2…………………………8分
設(shè)面PDQ的法向量
則解得…………………………10分
取平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為…………………………12分