Question

如圖，在三棱錐中，已知△是正三角形，平面，，為的中點(diǎn)，在棱上，且，
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；
（3）若為的中點(diǎn)，問上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，說明點(diǎn)的位置；若不存在，試說明理由．

Answer 1

略

解一：（1）取AC的中點(diǎn)H，因?yàn)?AB＝BC，所以 BH⊥AC．
因?yàn)?AF＝3FC，所以 F為CH的中點(diǎn)．
因?yàn)?E為BC的中點(diǎn)，所以 EF∥BH．則EF⊥AC．
因?yàn)?△BCD是正三角形，所以 DE⊥BC．
因?yàn)?AB⊥平面BCD，所以 AB⊥DE．
因?yàn)?AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面ABC．所以 DE⊥AC．
因?yàn)?DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面DEF
（2）
（3）存在這樣的點(diǎn)N，
當(dāng)CN＝時(shí)，MN∥平面DEF．
連CM，設(shè)CM∩DE＝O，連OF．
由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．
所以 當(dāng)CF＝CN時(shí)，MN∥OF．所以 CN＝
解二：建立直角坐標(biāo)系