Question

已知sin(2α+β)=3sinβ，β≠kπ+

π

2

，α+β≠kπ+

π

2

(k∈Z)，
求證：tan（α+β）=2tanβ．

Answer 1

分析：把條件3sinβ=sin（2α+β）中的角都用所要證明的結(jié)論中的角表示為3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]；再利用兩角和與差的正弦公式展開，整理即可證明結(jié)論．

解答：證明：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
⇒3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
⇒sin（α+β）cosα=2c0s（α+β）sinα
∵α+β≠

π

2

+kπ，k∈Z．
∴

sin(α+β)cosα

cos(α+β)cosα

=

2cos(α+β)sinα

cos(α+β)cosα

．
⇒tan（α+β）=2tanα．

點評：本題考查三角恒等式的證明，一般都是把已知條件與所證結(jié)論相結(jié)合，即要看條件，又要分析條件和結(jié)論之間的關(guān)系．