Question

已知

a

，

b

是空間中兩個相互垂直的單位向量，且|

c

|=3，

c

•

a

=1，

c

•

b

=2，則對于任意實數(shù)t₁，t₂，|

c

-t₁

a

-t₂

b

|的最小值是（　�。�

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、4

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，(

a

)2=(

b

)2=1，且

a

•

b

=0，將此代入|

c

-t₁

a

-t₂

b

|的式子，并且結(jié)合|

c

|=3，

c

•

a

=1，

c

•

b

=2，化簡整理得到關(guān)于實數(shù)t₁，t₂的方程，當且僅當t₁=1，t₂=2時，|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²的最小值為4，

解答： 解：|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²=(

c

)2+t12(

a

)2+t22(

b

)2-2t1(

c

•

a

)-2t2(

c

•

b

)+2t1t2(

a

•

b

)
∵

a

，

b

是空間中兩個相互垂直的單位向量，且|

c

|=3，

c

•

a

=1，

c

•

b

=2，
∴|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²=9+t12+t22-2t1-4t2=(t1-1)2+(t2-2)2+4，
由此可得，當且僅當t₁=1，t₂=2時，|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²的最小值為4，
∴|

c

-t₁

a

-t₂

b

|的最小值是

4

=2．
故選：C．

點評：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)和二次式的最值等知識，屬于中檔題．