Question

如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，證明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB²．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,相似三角形的判定

專(zhuān)題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）連接OE，OA，證明OE⊥BC，可得E是

BC

的中點(diǎn)，從而B(niǎo)E=EC；
（Ⅱ）利用切割線定理證明PD=2PB，PB=BD，結(jié)合相交弦定理可得AD•DE=2PB²．

解答： 證明：（Ⅰ）連接OE，OA，則∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E是

BC

的中點(diǎn)，
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，
∴PA²=PB•PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
∴BD•DC=PB•2PB，
∵AD•DE=BD•DC，
∴AD•DE=2PB²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查切割線定理、相交弦定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．