Question

已知Rt△ABC中，AB=8，AC=4，BC=4

3

，則對(duì)于△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)P，

PA

•（

PB

+

PC

）的最小值是（　�。�

• A、-14
• B、-8
• C、-26
• D、-30

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：分別以CB，CA所在的直線(xiàn)為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，然后利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解

PA

•（

PB

+

PC

），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解

解答： 解：分別以CB，CA所在的直線(xiàn)為x，y軸建立直角坐標(biāo)系

∵AB=8，AC=4
∴A（0，4），C（0，0），B（4

3

，0）
設(shè)P（x，y），則

PA

=(-x，4-y)，

PB

=(4

3

-x，-y)，

PC

=(-x，-y)，
∴

PB

+

PC

=(4

3

-2x，-2y)
∴

PA

•（

PB

+

PC

）=[-x(4

3

-2x)]+(4-y)•(-2y)
=-4

3

x+2x2+2y2-8y
=2(x-

3

)2+2(y-2)2-14
即(x-

3

)2+(y-2)2為△ABC內(nèi)一點(diǎn)到點(diǎn)（

3

，2）距離平方，當(dāng)其最小時(shí)向量

PA

•（

PB

+

PC

）的最小，
因?yàn)辄c(diǎn)（

3

，2）也在△ABC內(nèi)，
 所以(x-

3

)2+(y-2)2最小為0，所以

PA

•（

PB

+

PC

）的最小值是-14．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所求式子幾何意義．