Question

若不等式lg

1+2x+(1-a)3x

3

≥（x-1）lg3對任意x∈（-∞，1）恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0]
• B、[1，+∞）
• C、[0，+∞）
• D、（-∞，1]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,轉(zhuǎn)化思想,不等式的解法及應(yīng)用

分析：不等式lg

1+2x+(1-a)3x

3

≥（x-1）lg3可整理為a≤

1+2x

3x

=(

1

3

)x+(

2

3

)x，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=(

1

3

)x+(

2

3

)x在（-∞，1）上的最小值即可，利用單調(diào)性可求最值．

解答： 解：不等式lg

1+2x+(1-a)3x

3

≥（x-1）lg3，
即不等式lg

1+2x+(1-a)3x

3

≥lg3^x-1，
∴

1+2x+(1-a)•3x

3

≥3x-1，整理可得a≤

1+2x

3x

=(

1

3

)x+(

2

3

)x，
∵y=(

1

3

)x+(

2

3

)x在（-∞，1）上單調(diào)遞減，
∴x∈（-∞，1）y=(

1

3

)x+(

2

3

)x＞

1

3

+

2

3

=1，
∴要使圓不等式恒成立，只需a≤1，即a的取值范圍是（-∞，1]．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查不等式恒成立問題、函數(shù)單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)為思想，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決問題的能力．