Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設AP=1，AD=

3

，三棱錐P-ABD的體積V=

3

4

，求A到平面PBC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）設BD與AC 的交點為O，連結EO，通過直線與平面平行的判定定理證明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）通過AP=1，AD=

3

，三棱錐P-ABD的體積V=

3

4

，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，說明AH就是A到平面PBC的距離．通過解三角形求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）證明：設BD與AC 的交點為O，連結EO，
∵ABCD是矩形，
∴O為BD的中點
∵E為PD的中點，
∴EO∥PB．
EO?平面AEC，PB?平面AEC
∴PB∥平面AEC；
（Ⅱ）∵AP=1，AD=

3

，三棱錐P-ABD的體積V=

3

4

，
∴V=

1

6

PA•AB•AD=

3

6

AB=

3

4

，
∴AB=

3

2

，
作AH⊥PB交PB于H，
由題意可知BC⊥平面PAB
∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．
又AH=

PA•AB

PB

=

3 13

13

A到平面PBC的距離

3 13

13

．

點評：本題考查直線與平面垂直，點到平面的距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．