Question

如圖，三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M為AD中點，求三棱錐A-MBC的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明：CD⊥平面ABD，只需證明AB⊥CD；
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)換底面，V_A-MBC=V_C-ABM=

1

3

S_△ABM•CD，即可求出三棱錐A-MBC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵CD⊥BD，AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD?平面BCD，
∴AB⊥BD．
∵AB=BD=1，
∴S_△ABD=

1

2

，
∵M(jìn)為AD中點，
∴S_△ABM=

1

2

S_△ABD=

1

4

，
∵CD⊥平面ABD，
∴V_A-MBC=V_C-ABM=

1

3

S_△ABM•CD=

1

12

．

點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐A-MBC的體積，正確運用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．