Question

某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值．經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入的x萬元之間滿足：①y與（a-x）和x²的乘積成正比；②x∈（0，

2am

2m+1

]，其中m是常數(shù)．若x=

a

2

時，y=a³．
（1）求產(chǎn)品增加值y關(guān)于x的表達式；
（2）求產(chǎn)品增加值y的最大值及相應的x的值．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）設(shè)出函數(shù)解析式，利用當x=

a

2

時，y=a³，求出k，即可確定函數(shù)解析式與定義域；
（2）求導函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出產(chǎn)品增加值的最大值及相應x的值．

解答： 解：（1）設(shè)y=f（x）=k（a-x）x²，
因為當x=

a

2

時，y=a³，所以k=8，
所以f（x）=8（a-x）x²，x∈（0，

2am

2m+1

]．
（2）因為f′（x）=-24x²+16ax，令f′（x）=0，則x=0（舍），x=

2a

3

．

a

2

≤

2am

2m+1

，可得m≥

1

2

①當

2am

2m+1

≥

2a

3

，即m≥1時，
當x∈（0，

2a

3

）時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，

2a

3

）上是增函數(shù)，
當x∈（

2a

3

，

2am

2m+1

）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（

2a

3

，

2am

2m+1

）上是減函數(shù)，
所以y_max=f（

2a

3

）=

32

27

a³；
②當

a

2

≥

2am

2m+1

＜

2a

3

，即

1

2

≤m＜1時，
當x∈（0，

2am

2m+1

）時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，

2am

2m+1

）上是增函數(shù)，
所以y_max=f（

2am

2m+1

）=

32m2

(2m+1)3

a³，
綜上，當m≥1時，投入

2a

3

萬元，最大增加值

32

27

a³．
當

1

2

≤m＜1時，投入

2am

2m+1

萬元，最大增加值

32m2

(2m+1)3

a³．

點評：本題的考點是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，主要考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導數(shù)知識的運用，屬于中檔題．本題需要對解模過程進行分類討論．