Question

已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)P(4,-).

(1)求雙曲線(xiàn)的方程.

(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線(xiàn)上,求證:·=0.

(3)求△F1MF2的面積.

 

Answer 1

(1) x2-y2=6 (2)見(jiàn)解析 (3)6

【解析】(1)∵e=,

∴可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2-y2=λ(λ≠0).

∵過(guò)點(diǎn)P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.

∴雙曲線(xiàn)方程為x2-y2=6.

(2)方法一:由(1)可知,雙曲線(xiàn)中a=b=,

∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).

∴=,=,

·==-.

∵點(diǎn)M(3,m)在雙曲線(xiàn)上,

∴9-m2=6,m2=3.

故·=-1,∴MF1⊥MF2.

∴·=0.

方法二:∵=(-3-2,-m),

=(2-3,-m),

∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.

∵M(3,m)在雙曲線(xiàn)上,

∴9-m2=6,即m2-3=0.

∴·=0.

(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,

△F1MF2的邊F1F2上的高h=|m|=,

∴=6.