Question

如圖,橢圓C:+=1的焦點在x軸上,左右頂點分別為A1,A,上頂點為B,拋物線C1,C2分別以A,B為焦點,其頂點均為坐標原點O,C1與C2相交于直線y=x上一點P.

(1)求橢圓C及拋物線C1,C2的方程.

(2)若動直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點M,N,已知點Q(-,0),求·的最小值.

 

Answer 1

(1) 橢圓C:+=1 C1:y2=16x C2:x2=4y (2)

【解析】(1)由題意A(a,0),B(0,),設拋物線C1的方程為y2=4ax,拋物線C2的方程為x2=4y,由P(8,8),∴橢圓C:+=1.

拋物線C1:y2=16x,

拋物線C2:x2=4y.

(2)由(1)得直線OP的斜率為,

∴直線l的斜率k=-,

設直線l:y=-x+b,

由消去y,得

5x2-8bx+8b2-16=0.

∵動直線l與橢圓C交于不同的兩點,

∴Δ=128b2-20(8b2-16)>0.

∴-<b<.

設M(x1,y1),N(x2,y2),

∴x1+x2=,x1x2=.

y1y2=(-x1+b)(-x2+b)

=x1x2-(x1+x2)+b2=.

∵=(x1+,y1),=(x2+,y2),

∴·=(x1+)(x2+)+y1y2

=x1x2+(x1+x2)+2+y1y2

=,

∵-<b<,

∴當b=-時,·取得最小值,其最小值為

×(-)2+×(-)-=-.