Question

（本小題滿分14分）
已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),一條漸近線方程為,其中
是以4為首項(xiàng)的正數(shù)數(shù)列,記.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; 
(Ⅱ)若數(shù)列的前n項(xiàng)的和為S_n,求;
(Ⅲ)若不等式+(a>0,且a≠1)對一切自然數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

Answer 1

解: (Ⅰ)∵雙曲線方程為的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),∴.
又∵一條漸近線方程為,∴.∴=2.
∵a₁=4,∴是以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列,a_n=2ⁿ⁺¹.∴c_n=3·2ⁿ.
(Ⅱ) S_n=c₁+c₂+…+c_n=3(2+2²+…+2ⁿ)=6(2ⁿ－1).
∵a_nc_n=3·2²ⁿ⁺¹,
∴
∴
(Ⅲ)T=,①
T=,②
①－②得T=,
故原不等式等價(jià)于 (n∈N^*)恒成立,即恒成立,
∴≥0恒成立,
故(ⅰ)當(dāng)a>1時(shí),x≥1.(ⅱ)當(dāng)0<a<1時(shí),0<x≤1.

略