Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+2x）e^-x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f′（x）＞1，求證：f（x）＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f′（x）＞1得（2-x²）e^-x＞1，即e^x＜2-x²，等價(jià)于x²+x-1＜x+1-e^x，
先證：x+1≤e^x，令g（x）=e^x-（x+1），利用導(dǎo)數(shù)即可證得g（x）≥g（0）=0，即x+1≤e^x，變形即可證得結(jié)論成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+2x）e^-x，x∈R，
∴f′（x）=（2x+2）e^-x-（x²+2x）e^-x=（2-x²）e^-x，
∴由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，故f（x）在（-

2

，

2

）上是增函數(shù)，
由f′（x）＜0得x＜-

2

或x＞

2

，故f（x）在（-∞，-

2

），（

2

，+∞）上是減函數(shù)．
（2）由f′（x）＞1得（2-x²）e^-x＞1，即e^x＜2-x²，等價(jià)于x²+x-1＜x+1-e^x，
先證：x+1≤e^x，令g（x）=e^x-（x+1），有g(shù)′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
∴g（x）≥g（0）=0，即x+1≤e^x，
∴x²+x-1＜x+1-e^x≤0，
∴x²+x-1＜0，由此得x²+2x＜x+1，
∴x²+2x＜x+1≤e^x，
∴（x²+2x）e^-x＜1，
即f（x）＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)最值問(wèn)題，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立問(wèn)題，注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化劃歸，屬中檔題．