Question

【題目】已知曲線的方程為：，其中：，且為常數(shù).

（1）判斷曲線的形狀，并說明理由；

（2）設(shè)曲線分別與軸，軸交于點(diǎn)(不同于坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷的面積是否為定值？并證明你的判斷；

（3）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn)），求曲線的方程.

Answer 1

【答案】（1）曲線是以點(diǎn)為圓心， 以為半徑的圓；（2）定值，證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將曲線的方程化為，即可得到曲線的形狀；（2）在曲線的方程中令,得，進(jìn)而得到點(diǎn)，計算的三角形的面積，即可判定面積為定值；（3）由圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求得，當(dāng)時，直線與圓相離，舍去，當(dāng)時，即可求解圓的方程.

試題解析：（1）將曲線的方程化為,即.

可知曲線是以點(diǎn)為圓心， 以為半徑的圓.

（2）的面積為定值.證明如下：在曲線的方程中令,得，

得點(diǎn)在曲線方程中令，得，得點(diǎn)，（ 定值）.

（3）圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，且，

當(dāng)時， 圓心坐標(biāo)為圓的半徑為，

圓心到直線的距離,

直線與圓相離，不合題意舍去，時符合題意.

這時曲線的方程為.