Question

如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米，設(shè)點(diǎn)A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α和β．
（1）設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問CD的長至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？
（2）施工完成后，CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長（結(jié)果精確到0.01米）．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）設(shè)CD的長為x，利用三角函數(shù)的關(guān)系式建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）利用正弦定理，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)CD的長為x米，則tanα=

x

35

，tanβ=

x

80

，
∵0≤2β≤α＜

π

2

，
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tanα≥

2tanβ

1-tan2β

，
即

x

35

≥

2• x 80

1- x2 6400

=

160x

6400-x2

，
解得0＜x≤20

2

≈28.28，
即CD的長至多為28.28米．
（2）設(shè)DB=a，DA=b，CD=m，
則∠ADB=180°-α-β=123.43°，
由正弦定理得

a

sinα

=

AB

sin∠ADB

，
即a=

115sin38.12°

sin123.43°

≈85.06，
∴m=

802+a2-160acos18.45°

≈26.93，
答：CD的長為26.93米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的應(yīng)用問題，利用三角函數(shù)關(guān)系式以及正弦定理是解決本題的關(guān)鍵．