【題目】已知二次函數(shù)(其中
)滿足下列三個(gè)條件:①
圖象過坐標(biāo)原點(diǎn);②對(duì)于任意
都
成立;③方程
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)令(其中
),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間(直接寫出結(jié)果即可);
(3)研究方程在區(qū)間
內(nèi)的解的個(gè)數(shù).
【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析
【解析】
(1)由圖象過原點(diǎn)得,由
得對(duì)稱軸,方程
有兩個(gè)相等實(shí)根,對(duì)應(yīng)的
,三個(gè)條件可得三個(gè)等式,從而求得
得解析式;
(2)化簡函數(shù)為分段函數(shù),當(dāng)
時(shí),結(jié)合函數(shù)
的對(duì)稱軸求出單調(diào)區(qū)間,
時(shí)類似求出單調(diào)區(qū)間.
(3)結(jié)合(2)中函數(shù)的單調(diào)性可研究在
上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).注意零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用.
(1)因?yàn)?/span>圖象過坐標(biāo)原點(diǎn),所以
,即
,
又,所以其對(duì)稱軸是
,即
,
,
又方程為
,即
有兩個(gè)相等實(shí)根,所以
,
,
所以.
(2),
①當(dāng)時(shí),
的對(duì)稱軸是
,
若,即
時(shí),
在
上單調(diào)遞增,
若,即
時(shí),
在
上單調(diào)遞增,在
上遞減,
②當(dāng)時(shí),
的對(duì)稱軸是
,
則函數(shù)在
上遞減,在
上遞增,
綜上所述,當(dāng)時(shí),
的減區(qū)間為
,增區(qū)間為
;
時(shí),減區(qū)間為
,
,增區(qū)間為
,
.
(3)①當(dāng)時(shí),由(2)知
在
上單調(diào)遞增,
又,
,故函數(shù)
在
上只有一個(gè)零點(diǎn);
②時(shí),則
,
,
,
,
(i)當(dāng)時(shí),
,
且,此時(shí)
在
上只有一個(gè)零點(diǎn),
(ii)當(dāng)時(shí),
且
,此時(shí)
在
上有兩個(gè)不同零點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)時(shí),
在
上只有一個(gè)零點(diǎn),
時(shí),
在
上有兩個(gè)不同零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn)
且離心率為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在過點(diǎn)的直線
與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且滿足
.若存在,求出直線
的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD,現(xiàn)計(jì)劃在AC和BD路邊各修建一個(gè)物流中心E和F,為緩解交通壓力,決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF,設(shè)
Ⅰ
為減少對(duì)周邊區(qū)域的影響,試確定E,F的位置,使
與
的面積之和最;
Ⅱ
為節(jié)省建設(shè)成本,求使
的值最小時(shí)AE和BF的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)求和
的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若曲線截直線
所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
,求
的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等腰三角形ABC腰長為3,底邊BC長為4,將它沿高AD翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為2,此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量,
函數(shù)
.
(1)將函數(shù)的圖像向右平移m(
)個(gè)單位長度,所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù),寫出m的最小值(不要求寫過程);
(2)若,
,求
的值;
(3)若函數(shù)(
)在區(qū)間
上是單調(diào)遞增函數(shù),求正數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查一款電視機(jī)的使用時(shí)間,研究人員對(duì)該款電視機(jī)進(jìn)行了相應(yīng)的測試,將得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示:
并對(duì)不同年齡層的市民對(duì)這款電視機(jī)的購買意愿作出調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),試估計(jì)該款電視機(jī)的平均使用時(shí)間;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“愿意購買該款電視機(jī)”與“市民的年齡”有關(guān);
(3)若按照電視機(jī)的使用時(shí)間進(jìn)行分層抽樣,從使用時(shí)間在[0,4)和[4,20]的電視機(jī)中抽取5臺(tái),再從這5臺(tái)中隨機(jī)抽取2臺(tái)進(jìn)行配件檢測,求被抽取的2臺(tái)電視機(jī)的使用時(shí)間都在[4,20]內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在R上的奇函數(shù),且滿足
,
=1,數(shù)列{
}滿足
=﹣1,
(
),其中
是數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和,則
=
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足條件
是偶函數(shù),
,且
的圖象與直線
恰有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求的解析式;
(2)設(shè),是否存在實(shí)數(shù)
,使得函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值為2?如果存在,求出
的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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