Question

【題目】已知二次函數(shù)(其中)滿足下列三個(gè)條件:①圖象過坐標(biāo)原點(diǎn);②對(duì)于任意都成立;③方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)令(其中)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(直接寫出結(jié)果即可);

(3)研究方程在區(qū)間內(nèi)的解的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）由圖象過原點(diǎn)得，由得對(duì)稱軸，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，對(duì)應(yīng)的，三個(gè)條件可得三個(gè)等式，從而求得得解析式；

（2）化簡函數(shù)為分段函數(shù)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸求出單調(diào)區(qū)間，時(shí)類似求出單調(diào)區(qū)間．

（3）結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性可研究在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．注意零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用．

（1）因?yàn)?/span>圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即，

又，所以其對(duì)稱軸是，即，，

又方程為，即有兩個(gè)相等實(shí)根，所以，，

所以．

（2），

①當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸是，

若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減，

②當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸是，

則函數(shù)在上遞減，在上遞增，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為；時(shí)，減區(qū)間為，，增區(qū)間為，．

（3）①當(dāng)時(shí)，由（2）知在上單調(diào)遞增，

又，，故函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)；

②時(shí)，則，，，，

（i）當(dāng)時(shí)，，

且，此時(shí)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，

（ii）當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)．