Question

如圖，圓O的直徑AB=10，P是AB延長線上一點(diǎn)，BP=2，割線PCD交圓O于點(diǎn)C，D，過點(diǎn)P做AP的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F．
（1）求證：∠PEC=∠PDF；
（2）求PE•PF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）證明P、B、C、E四點(diǎn)共圓、A、B、C、D四點(diǎn)共圓，利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，即可證明：∠PEC=∠PDF；
（2）證明D，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，利用割線定理，即可求得PE•PF的值．

解答： （1）證明：連結(jié)BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=∠APE=90°，
∴P、B、C、E四點(diǎn)共圓．
∴∠PEC=∠CBA．
 又∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠CBA=∠PDF，
∴∠PEC=∠PDF----（5分）
（2）解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四點(diǎn)共圓．
∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24．----（10分）

點(diǎn)評：本題考查圓的性質(zhì)，考查四點(diǎn)共圓的判定，考查割線的性質(zhì)，屬于中檔題．