Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-2x．
（1）若曲線y=f（x）-g（x）在x=1與x=

1

2

處的切線相互平行，求a的值及切線斜率；
（2）若函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間（

1

3

，1）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）的圖象C₂交于P，Q兩點(diǎn)，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點(diǎn)M、N，證明：C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不可能平行．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)y=f（x）-g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在x=1與x=

1

2

處的切線相互平行，得到導(dǎo)數(shù)相同，建立方程即可求a的值及切線斜率．
（2）要使函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間（

1

3

，1）上單調(diào)遞減，只要y'≤0恒成立即可求a的取值范圍．
（3）利用反證法證明結(jié)論即可．

解答： （1）解：y=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

ax²+2x，記h（x）=lnx-

1

2

ax²+2x，
則h′（x）=

1

x

-ax+2…（2分）
∵依題意h（x）在x=1與x=

1

2

處的切線互相平行，
∴h′（1）=h′（

1

2

），即-a+3=-

a

2

+4，解得a=-2…（3分）
此時(shí)切線斜率k=h'（1）=5…（4分）
（2）解：∵函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間（

1

3

，1）上單調(diào)遞減，
∴h′（x）≤0在區(qū)間（

1

3

，1）上恒成立；…（5分）
即

1

x

-ax+2≤0，即a≥

1

x2

+

2

x

在區(qū)間（

1

3

，1）上恒成立；…（6分）
∴a≥（

1

x2

+

2

x

）_max，
∵x∈（

1

3

，1），∴

1

x

∈（1，3），
∴

1

x2

+

2

x

=(

1

x

+1)2-1≤15，
∴a≥15，
即a的取值范圍是[15，+∞）．…（8分）
（3）證明：f′（x）=

1

x

，g′（x）=ax-2，假設(shè)C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行，
設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），x₁＞x₂，＞0，
則存在a使得f′（

x1+x2

2

）=g′（

x1+x2

2

），
即

2

x1+x2

=

a

2

（x₁+x₂）-2，…（9分）
∴

2(x1-x2)

x1+x2

=

a

2

（x₁+x₂）（x₁-x₂）-2（x₁-x₂）=y₁-y₂=lnx₁-lnx₂=ln

x1

x2

不妨設(shè)

x1

x2

=t＞1…（12分）
則方程

2(t-1)

t+1

=lnt存在大于1的實(shí)根，
設(shè)φ（t）=

2(t-1)

t+1

-lnt，則φ′（t）=

-(t-1)2

t(t+1)

＜0，
∴φ（t）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴φ（t）＜φ（1）=0這與存在t＞1使得φ（t）=0矛盾．
∴C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不可能平行．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)是運(yùn)算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．