Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，tanB=

4

3

，sinA=

5

13

．
（Ⅰ）求cosC；
（Ⅱ）若△ABC的面積是1，求

AB

•

AC

．

Answer 1

考點：正弦定理的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：綜合題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出角A，B的正弦與余弦值，再由cosC=-cos（A+B）即可可求出角C的余弦值；
（II）由面積公式求出bc的值，再由數(shù)量積公式即可求出

AB

•

AC

．

解答： 解：（Ⅰ）由tanB=

4

3

，0＜B＜π，可得sinB=

4

5

，cosB=

3

5

；…（2分）
sinA=

5

13

＜sinB=

4

5

，
由正弦定理，a＜b，則A＜B，故0＜A＜

π

2

，cosA=

12

13

．…（4分）
由A+B+C=π，cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

5

13

×

4

5

-

12

13

×

3

5

=-

16

56

．…（6分）
（Ⅱ）由△ABC的面積是1，可得

1

2

bcsinA=

5

26

bc=1，得bc=

26

5

．…（9分）

AB

•

AC

=bccosA=

12

13

×

26

5

=

24

5

．…（12分）

點評：本題考查正弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，數(shù)量積的公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，涉及到的公式較多，知識性強，但難度不高，主要考查知識的運用能力及計算能力