Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)得到，設(shè)，畫(huà)出函數(shù)圖像得到答案.

（2）構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)單調(diào)遞增，得到，代入化簡(jiǎn)得到答案.

（3）根據(jù)題意，，兩式相除得到：，計(jì)算，，設(shè)，證明，得到答案.

（1），，即，

設(shè)，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：

根據(jù)圖像知.

（2）的兩個(gè)根為，構(gòu)造函數(shù)，

則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)單調(diào)遞增，且.

，即，即，

，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

故，即.

（3）根據(jù)題意，，兩式相除得到：，

設(shè)，，故，解得，，

故，要證，即證，即.

設(shè)，則，

設(shè)，則，且，故恒成立.

故單調(diào)遞減，故恒成立，得證.