Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求證：是上的奇函數(shù)；

（2）求的值；

（3）求證：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（4）求在上的最大值和最小值；

（5）直接寫出一個正整數(shù)，滿足．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析；（4）最大值，最小值；（5）答案不唯一，具體見解析.

【解析】

（1）利用奇偶性的定義證明即可；

（2）代值計算即可得出的值；

（3）任取，作差，通分、因式分解后分和兩種情況討論的符號，即可證明出結(jié)論；

（4）利用（3）中的結(jié)論可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（5）可取滿足的任何一個整數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)可推導(dǎo)出成立.

（1）函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，

且，因此，函數(shù)是上的奇函數(shù)；

（2）；

（3）任取，.

當時，，，，則；

當時，，，，則.

因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（4）由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當時，函數(shù)取最大值，即；

當時，，

所以，當時，函數(shù)取最小值，即.

綜上所述，函數(shù)在上的最大值為，最小值為；

（5）由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當時，，

所以，滿足任何一個整數(shù)均滿足不等式.

可取，滿足條件.