Question

【題目】三棱柱中，平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為邊中點(diǎn)，且.

(1)求證：平面平面；

(2)求證：平面；

(3)求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3).

【解析】

(1)要證平面平面，只需證明其中一個(gè)平面內(nèi)一條直線垂直于另一個(gè)平面即可，易證平面；

(2)要證平面，只需設(shè)法在平面知道一條直線與平行即可，故連結(jié)交于，則為的中點(diǎn)，再結(jié)合為邊中點(diǎn)，可得；

(3)要求三棱錐的體積，只需確定底面和相應(yīng)的高，而以為底面的三棱錐的底面面積和高不易求出，發(fā)現(xiàn)可變換為以為底面，為高的三棱錐來求解.

(1)因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

因?yàn)?/span>為等邊三角形，為邊中點(diǎn)，所以，

又，平面，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

(2)連結(jié)交于，則為的中點(diǎn)，連結(jié).

在中，為的中點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，

所以，又平面，平面，

所以平面.

(3) 三棱柱中，，又平面，

所以平面，所以為三棱錐的高，

在等邊中，，為邊中點(diǎn)，

所以，，，

所以，

所以.