Question

【題目】將所有平面向量組成的集合記作, 是從到的映射, 記作或, 其中都是實(shí)數(shù). 定義映射的模為: 在的條件下的最大值, 記做. 若存在非零向量, 及實(shí)數(shù)使得, 則稱為的一個(gè)特征值.

（Ⅰ）若, 求;

（Ⅱ）如果, 計(jì)算的特征值, 并求相應(yīng)的;

（Ⅲ）試找出一個(gè)映射, 滿足以下兩個(gè)條件: ①有唯一的特征值, ②. (不需證明)

Answer 1

【答案】（1）1（2） ,, , (3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由新定義可得=，利用=1，可得≤1，從而可得結(jié)論；

（2）由特征值的定義可得：，由此可得f的特征值，及相應(yīng)的；

（3）解方程組，可得x1（a1﹣λ，b1）+x2（a2，﹣b1﹣λ）=0，從而可得a1，a2，b1，b2應(yīng)滿足的條件，當(dāng)f（）=λ時(shí)，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|，再進(jìn)行證明即可．

（1）由于此時(shí)=，

又因?yàn)槭窃?/span>=1的條件下，有==≤1（x2=±1時(shí)取最大值），

所以此時(shí)有||f||=1；

（2）由f（x1，x2）=（x1+x2，x1﹣x2）=λ（x1，x2），可得：，

解此方程組可得：（λ﹣1）（λ+1）=1，從而λ=±．

當(dāng)λ=時(shí)，解方程組，此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程，

所以此時(shí)方程有無(wú)窮多個(gè)解，為（寫(xiě)出一個(gè)即可），其中m∈R且m≠0．

當(dāng)λ=﹣時(shí)，同理可得，相應(yīng)的（寫(xiě)出一個(gè)即可），其中m∈R且m≠0．

（3）解方程組，可得x1（a1﹣λ，b1）+x2（a2，﹣b1﹣λ）=0

從而向量（a1﹣λ，b1）與（a2，﹣b1﹣λ）平行，

從而有a1，a2，b1，b2應(yīng)滿足：．

當(dāng)f（）=λ時(shí)，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．

具體證明為：

由f的定義可知：f（x1，x2）=λ（x1，x2），所以λ為特征值．

此時(shí)a1=λ，a2=0，b1=0，b2=λ滿足：，所以有唯一的特征值．

在=1的條件下=λ2，從而有||f||=|λ|．