Question

【題目】已知函數(shù)對于任意的實數(shù)都有成立，且當時<0恒成立.

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）若=-2，求函數(shù)在上的最大值；

（3）求關(guān)于的不等式的解集.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù).（2）4（3）

【解析】

（1）對函數(shù)進行賦值，求出 ，令y=-x即可根據(jù)定義判斷出奇偶性；

（2）由定義法證明其單調(diào)性，再由單調(diào)性求出給定區(qū)間上的最值；

（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)及已知的函數(shù)性質(zhì)，將不等式化為的形式，再利用單調(diào)性列出不等式，求出解集.

解：（1）∵的定義域是R關(guān)于原點對稱，

令得=0，再令，得

∴是奇函數(shù).

（2）設(shè)任意，

由已知得，①

又，②

由①②知，

∴是R上的減函數(shù)，

當

∴在上的最大值為4

（3）由已知得：，

由（1）知是奇函數(shù)，又恒成立，

上式可化為：

由（2）知是R上的減函數(shù)，

∴

∴原不等式的解集為.